| Hello, World! |
[Apr. 17th, 2007|08:32 am] |
LJ 连不上的时候，正是春节，我本来就不上网，所以断得无声无息。
然后忽然它又通了，当然是好事情呀，有朋自远方来嘛，不亦乐乎吗。
只有在 LJ 写东西才有 blog 的感觉，sina 和 live 都无法替代。 |
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| 许愿 |
[Dec. 31st, 2006|11:58 pm] |
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爸爸妈妈们健康。 |
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| 偶得 |
[Dec. 22nd, 2006|11:52 pm] |
XMU 有个糊涂网友竟然收集了一些我当年的文集。呵呵，2002年的陈年旧帐翻出来，自己看也蛮开心的。弄几篇放在这里晒晒。虽然早已时过境迁。fido 圣诞快乐！1 ---雪终于下来了，周日的晚上，虽然不很大。看上去外边很冷。因为 aawoo 和 fido 都有各自很中意的新羽绒服，于是一起出门去体验严寒。街上人很少，公车的司机在起点站关着车门等人，来一个就开关一次，车里人也不多。坐到超市随便买点东西，在雀巢和麦氏前面罗嗦了好久选了前者。冷天里，热咖啡的气息也许会让房间里的人感到温暖。平时很热闹的大学附近的小吃街也冷清得很，只有一家买鸡汤豆腐串的女人招呼生意。fido 早想吃了，1块4串，优惠成5串，很开心地吃。有路人讨价才知道，本来就是1块6串。雪开始大起来了，在路灯周围上下翻飞，让人想起海的女儿结尾处安徒生说的雪碧。在车站等车，我们的新羽绒服一点也不冷，fido还是帮我把衣服系严实了。雪花很大，恍惚中，有小时候过年的心情。回家，fido 帮我补她以前买给我的手套，我给她冲咖啡。她嫌苦，于是我去拿砂糖。没有方糖吗？她装作很懂地问我。小姐，您要公牛奶还是母牛奶？我很谨慎地问道。2 ---家在 23 路终点站，所以山人出门一定要坐它。今天上午出去的时候很冷，远远地看到23路缓缓驶出站台，好在很快就有驶入者。所以当时站台上只有我一个人，所以第一个上车。刚上车我就有点懵。每个座位上都赫然有一个新的花棉布坐垫儿，第一感觉是，哦？座位怎么全被谁给占了？第二感觉是很快乐。几乎想挨个儿座位坐坐了。陆续上车的人都有和我一样的step1-step2两个感觉先后写在脸上。满车的屁股都很满意。在第二站一下子上来四个老头儿，让座者众，到了争抢的地步，我认为坐垫功不可没。但是我没有让，因为前面已经站起来一排了，我前面的女生站起来又坐下，脸都红了。后来我到了目的地，抽身下车时，有位大妈在我后边喊：喂！小伙子，你的坐垫忘啦！3 ---今天去给fido爸爸邮寄刀具。在离家近的第一个邮局，职员问是什么东西，告诉他是“刀！”，被告之不可以邮寄。到下一个邮局，是大连市的总邮政局，告诉职员是“厨具”。虽然刀们的照片赫然印在包装上，还是成功邮出，而且服务态度很好，包装手法也smart.晚上去吃羊肉火锅和鱼头，吃到边际效用为负。人常是矛盾的：虽已吃得很胀，可若让我结了帐留下一桌子美味就走，我选择了使劲吃。矛盾如fido：我说我宁愿吃她讨厌的包子以使她节省晚饭而保持体型，她就很哀怨；于是去吃羊肉鲢鱼，她就很开心地吃到非得散步不可；结果回来在人体称上咬牙切齿。其实大不必如此，虽然体重沉了很多，但是那些都是羊肉，与fido没有关系。4 ---上午去忙活一些杂事：帮同学办户口、买月票等等。终于忙完了，去小饭馆解决午饭。这是个我常去的小饭馆，包子一块四个，大米绿豆粥一块一碗，我给了服务员四块。正是中午11点，店里人只有一个穿了绿棉袄的四十多岁的男子在角落里吃包子。我晃悠悠地找座位，他指着旁边的桌子说：这儿，就这儿没风。我坐过去，拿出杂志看，他递过来两张餐巾纸。我有些不好意思，说声谢谢，埋头吃。他吃得很响，呵呵地，很香的声音。很快他吃完了，很小心地拿餐巾纸把自己的桌子擦干净了，把垃圾都敛在一起，带走。临走，他还很亲热地对我说，走啦，你慢慢吃！我有些发懵，目送他离开：一个很像工友的粗糙背影；一个陌生的人。世事如此：我们走自己的路，偶遇，彼此分享一些关心，宝贵而不沉重。前一段有人争论国民素质与快餐店自助收拾餐具的话题，今天想来，了无生趣。这是中午。5 ---今天下午给爸爸办公室去电话，爸爸说，我正给你写电子邮件呢！春节后，爸爸办公室通了宽带，爸爸就要了我的email地址要给我写现代化的信。我却一直没有收到，问起时，爸爸说，给姐姐的信发送成功了，给我的没有成功。今天下午姐姐来电话时，姐姐说她并没有收到爸爸的信。:P我放下给爸爸的电话之后大约五分钟的时候，MSN告诉我，爸爸的信到了。:-)要是哪天爸爸学会了MSN进而学会了video chat，恐怕我要重新生活在爸爸的监控之下了。其实电话、中文传呼、手机短信，电子邮件，视频聊天等已经将信息沟通到了极致，但是没有任何信息的传播可以完全代替面对面的沟通，如同无论邮寄给父母多少钱都无法真正照顾好他们一样。小时候奶奶跟我说，儿想娘，线一样的长；娘想儿，路一样的长。我们可以不亲自地几乎将一切传递出去，除了肉体和感情，也许这也正是上帝只赠给我们肉体和情感的原因。6 ---虽然那天爸爸给我来email的时候，我在文集里写了一页，其实给爸爸回的只有一两句。今天下午收到爸爸给我转发的姐姐给爸爸的回信，天哪，姐姐洋洋洒洒竟然写了很多！姐姐从收信时的心情说到幼年记忆，从通信手段的更新说到门户网站，服了！:-)我马上回信给爸爸说，还是女儿的感情来得细腻哦。(-:曾经跟爸爸说过我有文集，可是他不知道我叫aawoo，所以他是自己找不到这里的。即使我把那天写的那页文集email给爸爸，他也不大会喜欢我说的内容的。会说我呆。:Panyway，我就是我哦，和姐姐不一样的人。虽然不一样，却彼此很喜欢。姐姐五月份要考博士了，常常在电话里给她讲模型，当放电话的时候才觉得手腕好酸。其实姐姐和我对父母的方式很多不一样。我从国外回来的时候，爸爸妈妈说他们什么也不缺，我自然也什么也没有给他们买。姐姐在美国的时候，爸爸对我说，你姐姐肯定会给爸爸买点什么稀罕玩意儿的。当时我很惊奇地看着爸爸。:-) 果然姐姐给爸爸妈妈买了好多好多好玩的东西。:-)祝姐姐考博士好运！7 ---中午看10台的英语谈话节目，说“爱要说”，showing your love，有些话很有道理。说人与人的the language of love并不相同，重要的是要用对方可以理解的方式来示爱。打个比方，一些男生喜欢以送礼物来表达，一些女性喜欢以在厨房劳动来表达。西方人喜欢勇敢说出爱情，而儒家则提倡默默奉献，拐弯抹角，或者干脆说：多穿点！老外提出五种示爱方式：牺牲、拥抱、倾听、服务、etc...忘了。其实何止爱，伤心、孤独、无助、快乐、满足、凡此种种无不需要通过合适的方式表达。当你通晓了对方各种表达的方式的时候，就达到了默契。昨天爸爸来信讲了一个小“笑话”给我听：一个在县城读中学的文青在西方的感恩节这天恰巧读到某大众小资杂志提倡感恩的文章，忽然很感恩，要给父母一个惊喜，于是傍晚骑车赶回农村的家，要给父母一个惊喜，晚上10到家的时候，一开门，父母看到突然归家的儿子一身风尘，大吃一惊，十分担心，文青于是很失望，甩手进了自己房间，蒙头大睡，早上醒来的时候才知道，爸爸因为实在放心不下而连夜去了学校。8 ---虽然智齿出生得晚，但是它还是很坚决地长出来了，它根本不管我有多疼。所以我只有天天吃柔软的东西，比如鸡蛋羹。以前做鸡蛋羹的时候总是很失败，纳闷吉野家的厨师有什么秘笈。后来一次和同事吃饭，女人很多，我就不耻下问地讨教鸡蛋羹的做法。原来在蒸的时候在碗上包一层保鲜膜就好了。后来买的菜谱上也如是说。今天晚上做饭的时候又如法炮制，只是一时小气，保鲜膜撕小了，没有把碗包严实。蒸到一半的时候，我去视察，发现保鲜膜漏出一个洞，于是我给它加了一个塑料盖儿。等再去看的时候，塑料盖早已不堪忍受高温，变得很扭曲，很难受的样子。连忙把它救出，并给它冲冷水澡，很不幸，已经晚了，它将终生扭曲。为了节约1厘米宽的保鲜膜，我损失了一个很能干的塑料盖子，这就是小气的代价。:-(9 ---这两天开始胃疼，开始以为是因为买来的青菜没有洗净农药，今天出去吃，也会胃疼。所以热了牛奶来喝。本来是喜欢喝冷奶的，今天既然胃疼，就喝点热的吧。fido不喜欢喝奶，说是因为奶皮很不好看不好吃，而这正是我的最爱。:P用小奶锅热奶的时候，忽然很想家，因为爸爸用这样的小奶锅给姐姐和我热了十多年奶。印象很深刻的是冬天，爸爸要在凌晨骑很长时间的车去奶牛场打奶，回来时天都还没亮。邻居的叔叔则是出门买油条，爸爸说油条里有导致人变傻的明矾，所以从来不给我买。又因为隔壁叔叔的油条是用报纸包回来的，所以爸爸也从来不允许我吃人家家的早餐。后来我闹得实在凶，妈妈没办法，亲自倒了一锅油来给我炸油条吃，当然很不好吃。:P现在想来很佩服爸爸，我自从断奶一直到高中毕业，牛奶就一直没有断过，何其有毅力。去年回家，又看到伴随我长大的小奶锅，身上已经很多坑，因为是铝的。爸爸当然知道铝奶锅不很健康，可是经济条件所限，订奶已经是奢侈的习惯了。回想小时候，那么简朴的生活却时时充满笑声，父母真是好了不起。10 ---生活中有很多似是而非的东西。我的意思是，很多东西乍一想好象是一样，其实是把两样东西给搞混了。比如，我的课堂上学生很多，这只是说明我或者我的课比较受欢迎，不代表我讲得好。想到这个，我就有些沮丧，作为老师，我应该把课讲好，只是受欢迎是不值得高兴的。还有，一个人对别人不设防，也许是因为他心胸坦荡诚实自信，也许因为他头脑简单。一个人走路很快，也许因为他的确有好多事情要去做，也许因为他只是讨厌和人打招呼。人云亦云固然不好，可是标新立异者并不一定真的有自己的思想。这样看来，分布在均值两侧的一个标准差区间之内的大多数人还是随大流行为理智些。这就是为什么风雨之后的老人们常说，不要试图去改变社会，去适应它吧。我最尊敬的一位老师一生不曾向行政人员低头，退休之后劝告我说，至少要当个系主任！我看着他的眼睛，清澈明亮，自信坚毅，如果时光可以倒转，我相信他仍然会放弃作官。但通向山顶的捷径从来就很险恶，清澈明亮自信坚毅的眼睛有时也会向大道羡慕地张望。11 ---昨天看cctv-10的世界名校节目，这次介绍的是荷兰的莱顿大学和日本的早稻田大学。前者来历很有意思，莱顿是阿姆斯特丹旁边的一个小镇，五百年前为保卫首都浴血奋战。国王为表彰市民的英勇，提出两个可供选择的奖赏：永不纳税或者建一所大学。市民认为前者肯定是暂时的，他们选择了后者，得到荷兰第一所大学，五百多年过去了。有一件事我不很明白，单看大学的历史和校园文化，欧洲这些老牌大学堪称世界名校。可是在世界大学排名的时候，北美的大学却充斥在前列。也许是因为排名规则更看重的被索引的文章数目？莱顿校长的讲话和早稻田校长的讲话境界很不同，前者提倡文化，后者则重实用。前者以莱布尼兹为荣，后者则言必称自己和索尼的关系。当时在直播间的两个人也观点极其不同，一个是清华的教授，一个来自北师大。后者说大学首先是务实，前者笑称务实是学院的职责，大学更在于要提供自由的文化。两个世界的人，被拿到一起来说话，其实大家不必争论。12 ---槐花是前天开的，大前天的时候满树都是花骨朵，像是一夜之间得了号令。昨天就满街的槐花香味了。今天下班回来的路上，槐树下有满地的还没有来得及绽放的花，看得人心疼。
今天央视直播的珠峰登山队冲顶，要不是下午开会，我一定会守在电视旁边的。登山队的王勇峰队长是个大胡子，登遍了世界七个高峰，给人的感觉很好。感觉他就像一座山。
其实有些朋友给你的感觉就像一座山。
这是一种什么感觉呢？说不好，好像是他在离你或远或近的地方，若即若离，忙着和你不相关的事情。但是当你想起他的时候，他一定还在那里，随时等你去玩儿。:-)
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| 行走 |
[Dec. 22nd, 2006|08:30 pm] |
YP 在秘密海岸行走。
一个老人在秘密海岸的家。
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| 教学 |
[Dec. 16th, 2006|01:26 pm] |
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从我的书架上找到一本以前买的书，不错的厕所读物。戈丁的《数学概观》。写得好，译得好。买来不会后悔。有时候会去想下个学期的初级经济学这次该怎么上。之所以转孟岩关于矩阵的阐释，是想强调一个教员应该的角色。那个关于给猪拍照的例子，很传神，只有好的教员才能想出来。说到经济学，微观宏观本是一家，教材文献本是一家，可是讲法不同。怎么个不同，我需要用一辈子去慢慢领悟。目前看来：微观是 micro agents，宏观是 macro economy；再加上 quantitative methods 和 reality details 合起来是经济学。给本科生上第一遍经济学的任务至少有两个：一是讲对现实观察的经济学新视角；二是展示经济学对基础工具的科学整合。我自己是个科研和教学的实践者，需要慢慢体会。虽然慢，但是不会断。:-) |
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| 矩阵 |
[Dec. 16th, 2006|10:55 am] |
http://blog.csdn.net/myan/archive/2006/04/02/647511.aspx
前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，
上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。
（待续）
接着理解矩阵。
上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述。”
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
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| 节录 |
[Dec. 12th, 2006|03:55 pm] |
姚洋 Dec 2006
回到经济学领域，我们要回答的问题是，抛弃了科学主义，我们还剩下什么？我想，经济学家们要调整心态，意识到经济学是和历史学无异的学问。历史学复原和解释大尺度的历史，经济学复原和解释短期发生的历史。两者的共通之处在于研究者想告诉读者一个他认为正确的历史。“任何历史都是当代史”这句话意味着，不同的时代会写出不同的历史；进而言之，不同的人也会写出不同的历史。经济学亦如此。每个经济学家的理论都是他自己对已经发生的经济事件的一种解释，这个解释肯定不是历史的原貌，而只反映经济学家个人对历史的诠释。经济学之所以比其它社会学科显得更科学一些，是因为它的方法论是“科学”的。前面说了，经济学的方法论和它试图要解释的对象之间存在天然的差距；那么，为什么经济学还要使用这种方法论呢？对于像贝克尔这样的“经济学帝国主义”大师而言，方法是定义一个社会学科的唯一标准，而经济学的方法比其他社会科学的方法能够更好地解释社会现象。科斯反对这种说法，认为定义一个社会学科的标准仍然应该是这个学科所研究的对象；如果经济学只是因为它的方法而存在，则其他学科也会学会这种方法，那经济学就失去了存在的理由。沿着科斯的这个思路，我们可以看到，经济学和历史学的差别在于，经济学考察小尺度的历史，而历史学考察大尺度的历史。历史学可以忽略个体层面或者短时期内的因果关系；经济学则不然，它的主要任务是解释个体层面和短时期内的因果关系，它的方法论因此就必须提供一定的推理能力，以便对因果关系做出明确无误的判断。这样做的后果自然是经济学理论的片面性。在片面而趋于深刻和全面而流于肤浅之间，经济学选择了前者。一个好的经济学家，对此一定是心领神会的。他为读者构造一个故事，并用经济学的语言把它叙述一遍，这个过程就是经济学的证明。证明的好坏在很大程度上取决于是否能在更加接近现实和模型的可操作性之间取得平衡。数学家嘲笑经济学家是卖狗皮膏药的，因为经济学家如果不能证明他们想要的结论，就会修改他们的假设。我个人认为，这不能成为对经济学的一个批评，因为经济学在本质上就不是科学，而是历史学之一种；经济学的论证不是科学的论证，而是更接近于一种形式的艺术表现。一个好的经济学模型，读者总是可以从中读出“美”来。比如保罗·克鲁格曼的几篇肯定会让他获得诺贝尔奖的论文，就是具备美的要素。克鲁格曼的假设都很简单，他从不讳言这些假设并不符合现实，但也认真地说明，它们是对现实的提炼。克鲁格曼的过人之处在于，他能够在简单的假设前提下构建一个并不复杂但却极富弹性的模型，而他的结论又往往出人意料！在美这个层次上，所有学问都是相通的。有记者问丁肇中，他为什么对自己的理论有信心。他回答：“因为我的方程式是美的。”同样，一篇好的小说也是美的。但这美并不在它使用了许多华丽的词藻，而在于它的结构和行文。村上春树的语言很平实，但他的每部小说都给读者构建了一个奇幻的世界，并把读者一步步引入其中，让人流连忘返。好的经济学论文也引人入胜，不同的是，小说以故事取胜，而经济学以思想取胜。思想改变世界，经济学家应该以产生思想为满足。 |
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| 八仙 |
[Dec. 8th, 2006|11:11 pm] |
我收到了八位可爱的小家伙专门为我制作的一个视频。看起来没啥心眼儿的鲨鱼竟然是脚本的主笔。怪不得他那么有女生缘。每个孩子在视频里都青春逼人哩。真是体贴的独特的礼物！
我简直想不出更合适的语言，只有给他们八个起名叫做八仙～谢谢你们！ |
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| 冻人 |
[Dec. 2nd, 2006|07:49 pm] |
认识自己的偏好不是很容易的事情。但是我发现我喜欢今天的天气。蓝天白云，零下四度，湿度百分之四十七，东风 3kph，气压 0mb.蓝天白云来自昨夜狂风。昨晚回家路上我就知道今天一定是我喜欢的天气。早上朗朗晴空下飘着雪花，我就很开心。忍不住下午出去乱逛一圈。穿着本来是给老师买的所以不很符合身份的棉衣，迎着小风，就开始哼歌。有鬼电车从身边晃过去，路上没有行人，槐花一样的路灯一串串地很亮。
当我想唱歌，就想起那些黄昏：我坐在爸爸自行车前边，姐姐坐在妈妈自行车后边，我们四口人从姥姥就回来；夕阳在右手边，它回它在太行山西边的老家，我们回我们有很软的大床的我家；爸爸就开始唱歌：西边的太阳就要落山了～微山湖上静悄悄～弹起那心爱的土琵琶～爸爸让姐姐和我学唱，姐姐很开心地笑着唱着，路人也侧目赞许，我就开始腼腆；进城了的时候，爸爸就开始讲什么叫做华灯初放和万家灯火，我的心就开始飞翔。不知道什么时候开始的，每当这样的天气，我就开始想念那短暂的十七年时光。短暂是因为快乐。那一年的爸爸，大约和我现在一样大小。爱妻娇儿，夫复何求。
给老师买冬衣的时候，认真挑里外都是纯棉的袄，如今穿在自己身上，也蛮舒服。
忽然想起在糊涂上写文集的岁月，那个时候，文集是我和 fido 交流的方式。只是写给 fido，一边写的时候，脑海里是她跳跃的眼神。而心中的 fido 早就是我自己。后来转到公众网。写 blog 像是在马路上唱歌。冻人的天气让我想起跟着爸爸唱歌的那一段马路：左边是呼啸的汽车，右边是白杨，然后是庄稼，远处是黛色的太行山，最西边是夕阳。会有好奇的、赞许的、不解的、疑惑的、嘲笑的行人的眼神。谁在乎！这是刚从姥姥家回来的小家庭在前进呢～
耳边又想起姐姐稚嫩嘹亮的歌声，看到 fido 跳跃的眼神。爱会让我勇敢。 |
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| 旧图 |
[Nov. 26th, 2006|02:43 pm] |
 20061126 |
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| 决绝 |
[Nov. 25th, 2006|08:18 pm] |
我的硕士导师很有趣。你给他东西，他坚决不要。如果你坚持，他就放进柜子里。过了十年，你去看，还在柜子里。十年，让你相信他的决绝。
我工资超过他后，他答应了吃饭我买单。他说两个菜就够了，我坚持买了一桌子。他始终没有吃那两个之外的任何菜。我拿着筷子看着他，好喜欢他。
冬天来了，他会冷。我明天要去给他买个冬衣。我知道他会怎么说：浪费！你该学会攒钱了！
决绝，这种坚硬的性格，让周围的朋友好安心！这时候，心里回荡起婉转的音乐。就象五年前，我在他的客厅里隐约地听到的他在厨房的歌声。
他要的不多，只要我成为他的骄傲。 |
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| 哲学 |
[Nov. 24th, 2006|09:33 pm] |
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小时候，历史是我最弱的项目，物理较好。现在越来越喜欢哲学。但是明确地知道我这一生已不可能念哲学。但是台湾傅佩荣的《生活有哲学》是我最近最爱的书。好在他说：哲学系的教育好像是一道门槛，学生是否毕业，与他是否跨入此一门槛，这两者之间并无必然联系。因此，是否哲学系毕业，与是否学会了哲学，这两者也是两回事。然后，一个人真要跨入此一门槛，也未必要念哲学系。… 哲学的原意是“爱好智慧”，而探求智慧应该是个愉快的旅程。… 保留一个梦想，不也是漫漫人生路上的一件美事吗？我喜欢他书中每一句话。我希望我日后服务的大学，要有个十分好的哲学系，十分好的历史系，十分好的数学系，十分好的文学系，当然最好还有个经济系。哦，那得是个多么好的大学呀。:-) |
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| 黄蓉 |
[Nov. 24th, 2006|08:45 pm] |
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蓦然回首。身边原来早有一个叫做 FIDO 的黄蓉。何等惊喜。世界就这样因为聪明人而愈加美丽。 |
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| 时段 |
[Nov. 24th, 2006|08:50 am] |
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早上上午中午下午傍晚晚上昨天晚上做梦，一个大家族卖旧家具。很多人来看。我看好一个老式收音机。少东家翻开乱乱的大本子，找到“收音机 90”。他说，恩，你给 100 吧。大宅子里摆满了各式大桌子和摆件，窗外还不断有工人运来。梦境里，那个宅子是我正租住的地方，因为我在想，买了桌子不挪窝就可以用。一边拍着各个桌面一边想，我不是好几个桌子了吗，那就不买了吧。昨天过得太复杂。晚上做梦都累。 |
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| 冷夜 |
[Nov. 24th, 2006|12:06 am] |
冷的夜。会想 fido。即使在人群之中，也许还正是主角。忽然落寞。
想要深夜去街边走走，看看自己在街灯下长长的身影。一个人，忘记白天的角色。专心地想念。若手很凉，就更加想念。
其实还是在灯下，房间里很暖。一点也不冷。什么也无法忘记。于是想念变成奢侈。
什么是想念？还是忘记？ |
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| 冲动 |
[Nov. 23rd, 2006|11:05 pm] |
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中午和一个专业画家聊天。请教我很关心的关于“冲动”的问题。冲动是魔鬼。画家画画，批评家审美。批评家可以审美，却画不出来，因为他是旁观者，旁观者没有冲动。他审的是美吗？画家画画时，也许要喝点酒，也许要听点音乐，他在试图捕捉他的冲动。冲动是魔鬼，即使画家本人对它也不可以招之即来！这个魔鬼体现在兰亭序的字里行间，可是又有哪个画家批评家可以将它擒住？你描述它？它已不在！经济系统里的行为人在决策，经济学家在旁观。再优美的模型，动物精神在哪里？冲动是魔鬼。神出鬼没。 |
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| 妈妈 |
[Nov. 23rd, 2006|08:29 am] |
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妈妈今天生日，妈妈生日快乐。那些能经常见到自己妈妈的人是奢侈的。 |
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| 快歌 |
[Nov. 22nd, 2006|10:49 am] |
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我的各科课程都接近尾声，除了博士的高级微观。这个学期的高微比往年多讲几章，所以到现在就讲到以前没仔细讲过的内容了。周三上午的阳光还是很好，和煦变成激越，因为在发现新知识。慢歌也变得不够有力，不如选些重重节奏的快歌快歌！这个时候讲不得优雅了，能不掉链子就不错啦，所以也有几分刺激。耳机很吵，没有在这里慢慢写字的心情，去看书了。:-) |
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| 罗嗦 |
[Nov. 21st, 2006|12:11 pm] |
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虽然下午马上去要上课，我还是要来更新一下下。只是因为看了 FNT 风格轻松的 blog。blog 是很好的东西：就像酒吧，牛鬼蛇神，爱来不来。要是上一个学期的课，到头来自己不出题，那将是多么郁闷的事情啊！上午的阳光时好时不好，我的小宇宙都懵乐。biu biu biu ~ |
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